Achille e la Tartaruga

Achille e la Tartaruga sono i protagonisti di quello che forse è il più famoso tra i paradossi matematici. Achille piè veloce sfida alla corsa una lenta tartaruga, dicendole:
- Scommettiamo che riesco a batterti nella corsa anche se ti dò dieci metri di vantaggio ?
la tartaruga risponde:
- Sai, io sono molto lenta, è il mio stile di vita, ma se mi dai dieci metri di vantaggio, non puoi battermi!
- Sì che posso, io sono il doppio più veloce di te.
- Anche se sei il doppio più veloce non potrai mai raggiungermi. Vedi, mentre tu percorri i dieci metri che io ho di vantaggio io mi sposto in avanti di cinque. Tu dovrai poi percorrere questi cinque metri, ma io mi sarò spostata in avanti di altri due metri e mezzo che tu dovrai recuperare. Ma mentre tu cercherai di raggiungermi facendo questi due metri e mezzo io mi sarò spostata di un altro metro e venticinque e così via fino all'infinito, così tu non potrai mai raggiungermi.
Così dicendo la tartaruga tracciò sulla terra un diagramma che spiegava la situazione. Achille osservò a lungo il diagramma, ripetendo mentalmente più volte il percorso della gara, non riuscendo a capacitarsi di come fosse possibile che egli non riuscisse mai a raggiungere il più lento animale. D'altronde Achille poteva, ragionando in altro modo, sostenere di poter vincere la gara. Infatti quando Achille avesse percorso, diciamo, trenta metri, la Tartaruga ne avrebbe percorsi solo quindici; detratti i dieci metri di vantaggio iniziali, Achille si sarebbe ancora trovato in vantaggio di cinque metri. Il paradosso appassionò molto gli antichi che, non possedendo le nostre conoscenze matematiche,  trovavano inspiegabile il ragionamento.
Provate a dare una risposta voi al paradosso.